hamster.jpgGisteren werd ik geconfronteerd met een rekenvraagstukje. Er waren drie diersoorten, en het was de bedoeling om in totaal 100 dieren te kopen met juist €100. Je weet bovendien dat een hamster €0,5 kost, een kip €3 en een konijn €10. Ik ben me ervan bewust dat deze prijzen een beetje onrealistisch zijn, maar ik ben helaas geen expert in de kippenhandel, en bovendien is het me vooral om het vraagstuk zelf te doen.
Start. We moeten dus weten hoeveel stuks we van elke diersoort kopen. Laat ik voor de eenvoud het volgende stellen:
x = aantal hamsters en y = aantal kippen en z = aantal konijnen.
Aldus bekomen we volgende vergelijkingen:
\frac{1}{2}x + 3y + 10z = 100 en x + y + z = 100
Merk op dat dit stelsel oneindig veel reële oplossingen heeft, maar dat x , y en z natuurlijke getallen moeten zijn. Hierdoor wordt het aantal oplossingen behoorlijk kleiner.
Als we nu z = 100 - x - y in de eerste vergelijking substitueren bekomen we
x = \frac{1800 - 14y}{19}
en bijgevolg moet 1800-14y deelbaar zijn door 19 .
Uit het hoofd :-) berekenen we dat 1800 = 94.19 + 14 en dus is 1800=14 in \mathbb{Z}_{19}
De vergelijking 14 - 14y = 0 in \mathbb{Z}_{19} zegt dat y = 1 (mod 19).
Neem bvb. y = 1 (in \mathbb{Z} ), dan is x=94 en z=100-94-1=5
Voor y=20 vinden we x=80 en z=0
Deze twee oplossingen zijn bovendien de enige, want als we verder gaan:
Voor y=39 vinden we x=66 en z=-5 en negatieve aantallen zijn natuurlijk niet toegestaan. Dit probleem blijft voor y \geq 58 .